【確率論】確率変数＆確率分布＆分布関数（確率分布関数）＆確率密度関数とは？（動画解説付き）

ここでは、確率変数＆確率分布＆分布関数（確率分布関数）＆確率密度関数について確認します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

動画で解説（YouTube）
確率変数(r.v.)とは
確率分布とは
分布関数とは
確率密度関数とは
紹介
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確率変数(r.v.)とは

$( \Omega ,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $( \Omega ,\mathcal{F},P)$ を確率空間とする。
実数値関数 $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ において、任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
$X^{-1}\left( B\right) =\left\{ \omega\in \Omega | X\left( \omega\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}$
が成立すれば、 $\mathcal{F}$ 可測であり、
$X$ を実数値確率変数という。

上の定義より、確率変数は確率測度 $P$ によらないことがわかる。

確率分布とは

上の実確率変数の定義により、可測空間は $( \Omega ,\mathcal{F})$ から $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ に置き換えられている。
そのため、ここでは $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ において、 $( \Omega ,\mathcal{F})$ の確率測度 $P$ に対応するものを定義する。

確率変数 $X$ に対し、任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
$P_{X}\left( B\right) =P\left( X^{-1}B\right)$
と定義すると、この確率測度 $P_{X}$ を確率変数 $X$ の確率分布という。

これにより、確率空間は $\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B},P_{X}\right)$ に置き換えられた。

分布関数とは

確率分布は、集合の関数であるが、実数上では点関数に変換できる。

確率変数 $X$ と任意の $x\in \mathbb{R}$ に対し、
$F_{X}\left( x\right) = P_{X}( ( -\infty ,x\rbrack ) =P\left( X\leq x\right)$
によって定義される関数 $F_{X}$ を確率分布関数という。
単に『分布関数』ともいう。