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【高校・大学数学】工夫すれば解ける積分問題#1

数学 解析学


ここでは、積分の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。
※2問解きます。もう1問は後半で。

問題#1

\displaystyle \int _{0}^{\infty }\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dxを求めよう。

動画解説（YouTube）

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解き方

\displaystyle \int _{0}^{\infty }\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx=\int ^{1}_{0}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx+\int ^{\infty }_{1}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx

上のように分けることがポイント。

次に、第2項について、x=\dfrac{1}{t}とおきます。
このとき、

\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx&=\int _{1}^{0}\dfrac{-\log t}{\left( 1+\dfrac{1}{t}\right) ^{2}}\cdot \dfrac{-dt}{t^{2}}&\\ &=-\int _{0}^{1}\dfrac{\log t}{\left( 1+t\right) ^{2}}dt&\\&=-\int ^{1}_{0}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx&\end{aligned}

とできます。

よって、
\begin{aligned}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx&=\int ^{1}_{0}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx-\int ^{1}_{0}\dfrac{\log x}{\left( 1+x\right) ^{2}}dx&\\ &=0&\end{aligned}
より解は0です。

もう1問解いてみましょう。

問

\displaystyle\int _{0}^{1}\dfrac{dx}{\left( x^{2}-x+1\right) ^{\frac{3}{2}}}

解き方

※
\displaystyle I=\int _{0}^{1}\dfrac{dx}{\left( x^{2}-x+1\right) ^{\frac{3}{2}}}とします。


x-\dfrac{1}{2}=tとおくことがポイントです。
このとき、
\displaystyle I=\int _{0}^{1}\dfrac{dx}{\left( x^{2}-x+1\right) ^{\frac{3}{2}}}=2\int _{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dt}{\left( t^{2}+\dfrac{3}{4}\right) ^{\frac{3}{2}}}
となります。

次に、t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan \thetaとおきます。
dt=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{d\theta }{\cos ^{2}\theta }であることに注意すると、

\begin{aligned}I=\dfrac{8}{3}\int _{0}^{\frac{\pi }{6}}\cos \theta d\theta &=\dfrac{8}{3}\lbrack \sin \theta \rbrack _{0}^{\frac{\pi }{6}}&\\ &= \dfrac{4}{3}&\end{aligned}

より、解は\dfrac{4}{3}です。

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