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アルキメデスの原理（性質）と稠密性【大学数学】＆英語あり

数学解析学

はじめに
アルキメデスの原理とは
証明
稠密性とは
証明
大学生必見！
おわりに＆おすすめ

はじめに

ここでは、アルキメデスの原理（性質）と稠密性について解説します。
別記事で英語版も用意していますので、そちらもよかったら見てください。

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アルキメデスの原理とは

誤解のないように数学の方のアルキメデスの原理です。

アルキメデスの原理とは、
任意の実数 $a,b >0$ に対し、 $na >b$ となる $n\in \mathbb{N}$ が存在する。…①
というものです。

下で証明（簡略版）します。

証明

（※矛盾を使います。）
つまり、上の①より、 $b$ は $na$ の上界でないことを言っているので
$b$ を $na$ の上界として矛盾を導けばよい。

$c$ を $na$ の上限とすると、
$na\leq c$ …②となる。
このとき、 $c-a ＜c$ であり、この $c-a$ は $c$ の上界ではない。

よって、 $c-a ＜na$ となるものがあり、 $c ＜\left( n+1\right) a$ となる。
しかし、 $n+1\in \mathbb{N}$ なので、これは②に矛盾する。

これでOK。
次は、実数の稠密性について。

稠密性とは

任意の実数 $a,b$ （ただし、 $a＜b$ ）に対し、
$a＜x＜b$ を満たす $x\in \mathbb{Q}$ が存在する。
というものです。

下で証明します。

証明

※上のアルキメデスの原理を使う。
$a＜b$ なので、 $b-a ＞0$ であり、
$n\left( b-a\right) ＞1$ となる $n\in \mathbb{N}$ が存在する。

また、アルキメデスの原理より、
$m_{1} ＞na$ と $m_{2} ＞-na$ を満たす $m_{1},m_{2}\in \mathbb{N}$ が存在する。
これより、 $-m_{2} ＜na ＜m_{1}$

よって、 $m-1\leq na ＜m$ を満たす $m$ が存在し、
この $m$ は $-m_{2}\leq m\leq m_{1}$ であるものとする。
なので、
$na ＜m\leq 1+na ＜nb$
である。
※最後は $n\left( b-a\right) ＞1$ を利用した。

あとは $n$ で割ってやって、
$a＜\dfrac{m}{n}＜b$ が得られ、
$x=\dfrac{m}{n}$ とおいてやると、 $a＜x＜b$ となる。

これでOK。

ここまでの解説＆証明の英語版記事も用意した。
下にリンクがあるのでそちらもよかったら。

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おわりに＆おすすめ

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『大学数学記事まとめ』は下から！
dodgson.hatenablog.com

上までの解説の英語版です⇩
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