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【線形代数】即解決！ケーリー・ハミルトンの定理を例題で確認しよう

線形代数数学

はじめに

この記事ではケーリー・ハミルトンの定理を例題を使って確認、練習します。

2021/05追記：最新版、ケーリー・ハミルトンの定理の記事を書きました。

先に下の記事から見てください。

dodgson.hatenablog.com

即解決！ケーリー・ハミルトンの定理を例題で確認しよう

◎ケーリー・ハミルトンの定理とは？

ｎ次正方行列Aの固有多項式を $\varphi _{A}\left( t\right)$ とすると、

$\varphi _{A}\left( t\right) =\boldsymbol{0}$ となるもの。

※二次の場合の性質

f:id:Dodgson:20210823172708p:plain

これについて、

$\varphi _{A}\left( A\right) =A^{2}-\left( a+d\right) A+\left( ad-bc\right) E=\boldsymbol{0}$

・・・①

固有多項式は

f:id:Dodgson:20210824115543p:plain

これより、 $\varphi _{A}\left( A\right)$ が①の形になることがわかる。

つまり、 $A^{2}$ を求めるなら

$A^{2}=\left( a+d\right) A+\left( ad-bc\right) E$ より

f:id:Dodgson:20210824120206p:plain

ならば

f:id:Dodgson:20210824120431p:plain

ちなみに、

$\begin{aligned}A^{3}=A\cdot A^{2}=A\left( 5A-2E\right) =5A^{2}-2A\ =5\left( 5A-2E\right) -2A=23A-10E\end{aligned}$

ケーリーハミルトンの定理を使う機会はあまりないと思いますが、一応上で理解できたと思います。

便利と言えば便利ですが、過去に使った記憶があまりないっていう……

とはいえ院試の問題やってたらたまに見かけるので、形としてこの機会に再確認したわけです。

せっかくなのでもう少し練習した物を下で載せます。

ケーリー・ハミルトンの定理の練習その２

問：

f:id:Dodgson:20210824121219p:plain

とするとき、

$A^{4}-4A^{3}-A^{2}-5E$

これを求めよう。

解：

$A$ の固有多項式は

f:id:Dodgson:20210824121622p:plain

ここで

$f\left( t\right) =t^{4}-4t^{3}-t^{2}-5$ とおくと

$f\left( t\right) =\varphi _{A}\left( t\right) \left( t^{2}+t\right) +2t+5$ である。

ケーリー・ハミルトンの定理より

$\varphi _{A}\left( t\right) =\boldsymbol{0}$ なので

$A^{4}-4A^{3}-A^{2}-5E=2A-5E$ である。

よって、

f:id:Dodgson:20210824122339p:plain

おわり。

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