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【微分方程式500問】9,未定係数法と特解（指数関数｜e）

数学微分方程式

◇◆◇

今回も未定係数法と特解についてやっていきます。
多項式、sin、cos、指数関数eでそれぞれ分けてします。
前々回の記事⇩
dodgson.hatenablog.com

※前々回までの記事（全部）はここから見れます⇩
即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚

★おすすめ記事★
dodgson.hatenablog.com

特解と未定係数法

※詳しくは前回の記事で。
dodgson.hatenablog.com

指数関数 $e$

$y'+3y=e^{2t}$ について一般解を求めます。

まずは解解を知りたいので、
$y=\alpha e^{2t}$ と置いてやります。と置いてやります。
このとき、 $y'=2\alpha e^{2t}$ であるので
これを上の式に代入し、
$2\alpha e^{2t}+3\alpha e^{2t}=e^{2t}$
より、
$5\alpha =1$
とわかりますので、これを解いて、
$\alpha =\frac{1}{5}$ です。

よって特解は $y=\dfrac{e^{2t}}{5}$ です。

したがって一般解は、
$y=\dfrac{e^{2t}}{5}+ce^{-3t}$ と求まります。

※上のやり方が通用しない例

次に $y'-2y=e^{2t}$ について一般解を求めます。

まずは解解を知りたいので、
$y=\alpha e^{2t}$ と置いてやります。
このとき、 $y'=2\alpha e^{2t}$ であるので
これを上の式に代入し、
$2\alpha e^{2t}-2\alpha e^{2t}=e^{2t}$
より、特解を求めることができません。
「……え？」となるところですが、これは特殊は場合でして、
$y'-ay=be^{at}$ となるときは、別の $y$ を用意する必要があります。

この場合は、
$y=bte^{at}$ とするのが正解です。
ここでは $y=bte^{2t}$ ですね。
このとき、 $y'=be^{2t}+2bte^{2t}$ であるので
これを再度上の式に代入し、
$be^{2t}+2bte^{2t}-2bte^{2t}=e^{2t}$
より、 $b=1$ です。

よって特解は $y=te^{2t}$ です。

したがって一般解は、
$y=te^{2t}+ce^{2t}$ と求まります。

問

①　 $y'+\frac{1}{2}y=e^{t}$

②　 $y'+y=e^{-2t}$

③　 $y'-4y=2e^{4t}$

④　 $y'+3y=-e^{-3t}$

解

①　 $y=\frac{2e^{t}}{3}+ce^{-\frac{t}{2}}$

②　 $y=-e^{2t}+ce^{-t}$

③　 $y=2te^{4t}+ce^{4t}$

④　 $y=-te^{-3t}+ce^{-3t}$

おわりに＆次の記事に進む

今回も6問終了、( ..)φメモメモ。

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