【微分方程式500問】10,初期値問題と未定係数法と特解（複数組み合わせ型）

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今回も未定係数法と特解についてやっていきます。
特に、その初期値問題で練習回です。
※多項式、sin、cos、指数関数eでそれぞれ分けてしています。
7回の記事⇩
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※前回までの記事（全部）はここから見れます⇩
即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚

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初期値問題（複数）

例えば $y'+y=t+\sin t$ のような右辺に多項式、sin&cos、指数関数が複数登場しているようなものです。

これも今までと同じようにして解くことができます。
なのでこの初期値問題、
$y'+y=t+\sin t,\,y\left( 0\right) =1$
を解いてみましょう。

まず特解を求めますので、
$y=\alpha t+\beta +\gamma \cos t+\delta \sin t$
とします。
このとき、
$y'=\alpha -\gamma \sin t+\delta \cos t$ であるので
上の式に代入し、

$\alpha -\gamma \sin t+\delta \cos t + \alpha t+\beta +\gamma \cos t+\delta \sin t =t+\sin t$

より、
$\begin{aligned}\alpha =1,\beta =-1\\ \gamma =-\dfrac{1}{2},\delta =\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
とわかります。

よって特解は
$y=t-1-\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{1}{2}\sin t$

したがって一般解は
$y=t-1-\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{1}{2}\sin t+ce^{-t}$
と求まりますので、あとは初期条件より
$y=t-1-\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{1}{2}\sin t+\dfrac{5}{2}e^{-t}$
が解となります。