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【微分方程式500問】11,変数分離形と初期値問題

数学微分方程式

◇◆◇

今回から変数分離形をします。
タイトルに初期値問題としてありますが、前までの記事と違ってまとめてすることにします。
※本記事では変数分離形の形に慣れることを目標としてやっていく。

※前回までの記事（全部）はここから見れます⇩
即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚

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変数分離形の解き方

ちょうどよいのでサムネ用に使った微分方程式を解く。

$y'=xy$

まずは、 $\dfrac{dy}{dx}=xy$ と見やすいようにする。

次に両辺に $dx$ をかけて、変形。
$\dfrac{1}{y}dy=xdx$

次に上の式を積分する。
$\displaystyle\int \dfrac{1}{y}dy=\int xdx+c$

あとは計算するだけで、
$\log |y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c$
より
$y=e^{\frac{x^{2}}{2}+c_{1}}=ce^{\frac{x^{2}}{2}}$
と求めることができます。

もう一問解いてみましょう。
$y'=e^{x}y$

これは $\dfrac{dy}{dx}=e^{x}y$ と同じですので
次に両辺に $dx$ をかけて、変形。

$\dfrac{dy}{y}=e^{x}dx$
ですね。
次に上の式を積分すると
$\displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=\int e^{x}dx+c$
より、
$\log |y|=e^{x}+c$
なので、
$y=\pm e^{e^{x}+c_{1}}=ce^{e^{x}}$
と求めることができます。

問

当てはめるだけなので初期値問題もセットでやります。

①　 $y'=\dfrac{y}{1+x^{2}},\,y\left( 1\right) =0$

②　 $y'=xy^{2},\,y\left( 0\right) =-1$

③　 $y'=\sin xy,\,y\left( 0\right) =1$

④　 $y'=4x\left( 1+2y\right) ,y\left( 1\right) =-1$

解

①　 $y=e^{\tan ^{-1}x-\frac{\pi }{4}}$

②　 $y=-\frac{2}{x^{2}+2}$

③　 $y=e^{1-\cos x}$

④　 $y=-\frac{e^{4x^{2}}+e^{4}}{2e^{4}}$

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今回も6問終了、( ..)φメモメモ。

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