ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

本サイトはプロモーションを含みます

【微分方程式500問】7,未定係数法と特解（多項式）

数学微分方程式

◇◆◇

今回から未定係数法と特解についてやっていきます。
多項式、sin、cos、指数関数eでそれぞれ分けてします。

※前回までの記事（全部）はここから見れます⇩
即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】 - ドジソンの本棚

★おすすめ記事★
dodgson.hatenablog.com

特解と未定係数法

初めなので簡単に説明しておきますが、
定数係数の微分方程式（ $y'+ay=f\left( t\right)$ ）が与えられ、その特解を $s$ とすると、
一般解が $y=s+ce^{-G\left( t\right) }$ となります。

この $G\left( t\right)$ は原始関数、というより単に $at$ で考えていいでしょう。

そしてこれが使えるのは $f\left( t\right)$ が多項式、sin、cos、指数関数eのときのみです。（その組み合わせもOK）

多項式の場合

$y'-2y=t^{2}+t+1$ について一般解を求めます。

まずは特解を知りたいので、
$y=\alpha t^{2}+\beta t+\gamma$ と置いてやります。
このとき、 $y'=2\alpha t+\beta$ であるので
これを上の式に代入し、

$\begin{aligned}\left( 2\alpha t+\beta \right) -2\left( \alpha t^{2}+\beta t+\gamma \right) =t^{2}+t+1\end{aligned}$

より、
$-2\alpha =1$
$2\alpha -2\beta =1$
$\beta -2\gamma =1$
とわかりますので、これを解いて、
$\alpha =-\dfrac{1}{2},\beta =-1,\gamma =-1$ です。

よって特解は $-\frac{t^{2}}{2}-t-1$ です。

したがって一般解は、
$y=-\dfrac{t^{2}}{2}-t-1+ce^{2t}$ と求まります。

問

確認ついでに簡単なものを解いておきましょう。
①　 $y'+4y=-t$

②　 $2y'+y=t+1$

解

①　 $y=-\frac{t}{4}+\dfrac{1}{16}+ce^{-4t}$

②　 $y=t-1+ce^{-\frac{t}{2}}$

おわりに＆次の記事に進む

今回も3問終了、( ..)φメモメモ。

次の記事⇩
dodgson.hatenablog.com

おすすめ記事⇩

数学記事まとめです⇩

dodgson.hatenablog.com

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com