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【確率論】確率の単調性・余事象の証明


ここでは、確率の単調性・余事象の確認とその証明をします。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

確率の単調性と余事象

確率空間\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)について、
A,B\in \mathcal{F}とする。

このとき、
A\subset Bならば、P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
である。
これを確率の単調性という。

余事象についても見ておきましょう。
P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)

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証明

単調性を示します。

B=A\cup \left( B-A\right)であり、
AB-Aは排反なので、
P\left( B\right) =P\left( A\right) +P\left( B-A\right)と表せる。
・・・①

ここで、
P\left( B-A\right) \geq 0であるので
P\left( A\right) \leq P\left( B\right)が得られます。

証明終わり。

余事象については、
①でB=\Omegaとおくと、P\left( \Omega \right) =1に注意すると、
P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)が得られます。

おわり。動画ではもう少し詳しく解説していますので、そちらも参考にしてください。

おわりに&おすすめ

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当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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