【確率論】劣加法性とは？＆証明付き

はじめに
劣加法性とは？
証明
おわりに＆おすすめ

はじめに

ここでは確率の劣加法性の確認と証明をします。
（2022/11/30更新）

劣加法性とは？

$P\left( \bigcup _{n}A_{n}\right) \leq \sum _{n}P\left( A_{n}\right)$
です。

結構重要なので覚えておきましょう。
※できれば使えるように。

下で証明に移りますが、先に解いておくのがお勧めです。

証明

では証明をしていきましょう。
※簡単そうに見えて意外と難しいです。

まずは $A_n$ から互いに素な列を作らねばなりません。
なので、 $B_n$ を（⇩右にスライドして見る）

$\begin{aligned}B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{2}\backslash A_{1},B_{3}=A_{3}\backslash \left( A_{1}\cup A_{2}\right) \ldots \end{aligned}$

とするとOKです。

よって、
$P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) =P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}\right)$

したがって、（⇩右にスライドして見る）

$\begin{aligned}P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) =P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}\right) \overset{①}=\sum ^{\infty }_{n=1}P\left( B_{n}\right) \overset{②}\leq \sum ^{\infty }_{n=1}P\left( A_{n}\right) \end{aligned}$

①：σ加法性（詳しくは≫この本など）
②： $B_{n}\subset A_{n}\Rightarrow P\left( B_{n}\right) \leq P\left( A_{n}\right)$
より。

これで証明完了です。
記事下に数学記事まとめを載せておきます。

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数（初心者向け）
≫線形代数（上級者向け）
≫集合位相
 ≫複素関数
 ≫微分方程式
 ≫関数解析
 ≫洋書（初心者向け）
≫洋書（上級者向け）
≫LaTeX効率化・おすすめ本

『大学数学記事まとめ』は下から！
dodgson.hatenablog.com

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