【関数解析#3】直積ノルム空間とは

はじめに
直積ノルム空間とは
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はじめに

前回までの復習として、今回は直積ノルム空間についてやります。

◆関数解析◆

#2（【関数解析#2】ノルム空間（①距離空間） - ドジソンの本棚）
#3（ここ）
#4（【関数解析#4】バナッハ空間とは（完備なノルム空間） - ドジソンの本棚）

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直積ノルム空間とは

ノルム空間とは、線形空間 $X$ とそのノルム $\left\| \cdot \right\|$ に対して、 $\left( X,\left\| \cdot \right\| \right)$ の組の事を言う。

直積ノルム空間は（当たり前だが）、上の直積版のこと。

$V,W$ をノルム空間、 $V\times W=\left\{ \left( u,v\right) ;u\in V,v\in W\right\}$ をその直積空間とする。

まず、線形（ベクトル）空間であるために、和とスカラー倍を次のように $def$ する。

$V\times W$ について、
$\left( u_{1},v_{1}\right) +\left( u_{2},v_{2}\right) =\left( u_{1}+u_{2}\right) +\left( v_{1}+v_{2}\right)$
$\alpha \left( u,v\right) =\left( \alpha u,\alpha v\right)$
である。
上からノルムは、 $\left\| \left( u,v\right) \right\| =\left\| u\right\| +\left\| v\right\|$ と $Def$ すれば、
直積ノルム空間 $\left( V\times W,\left\| \cdot \right\| \right)$ ができる。