【関数解析#4】バナッハ空間とは（完備なノルム空間）

はじめに
完備なノルム空間をバナッハ空間という
定義の確認
証明
数学記事まとめ＆次の記事

はじめに

前回の続きで、バナッハ空間についてやります。
関数解析の二周目にまた戻って詳しくやる予定。

◆関数解析◆

#3（【関数解析#3】直積ノルム空間とは - ドジソンの本棚）
#4（ここ）
#5（まだ）

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完備なノルム空間をバナッハ空間という

ノルム空間については前回までに何度かやったが、確認までに、
線形空間 $X$ とそのノルム $\left\| \cdot \right\|$ に対して、
$\left( X,\left\| \cdot \right\| \right)$ をノルム空間という。

完備とは、任意のコーシー列が収束するときのノルム空間のこと。

$Def$ に戻って、任意のコーシー列 $\left\{ u_{n}\right\}$ に対して、
$u\in X$ が存在し、これに収束すれば、ノルム空間 $\left( X,\left\| \cdot \right\| \right)$ がバナッハ空間であるといえる。

定義の確認

上でやった事の確認のため、下を示す。

$C$ を $\mathbb{R}$ の有界閉部分集合 $K$ 上の連続関数全体とする。
※ $C$ が連続関数全体というのはよく使う。
このとき、 $\left( C,\| \cdot \| _{\infty }\right)$ はバナッハ空間であるが（別記事で示す）、
$\left( C,\| \cdot \| _{1}\right)$ は、完備ではないので、バナッハ空間でない。

証明

$f_{n}\left( x\right) =\begin{cases}1,x\geq \dfrac{1}{n}\\ nx,-\dfrac{1}{n}\leq x\leq \dfrac{1}{n}\\ 1,x\leq-\dfrac{1}{n}\end{cases}$
$f\left( x\right) =\begin{cases}1,x >0\\ 0,x=0\\ -1,x <0\end{cases}$
とおくと、
$f_{n}\in C$ である。※連続である。

このとき、
$\left\| f_{n}-f\right\|_{1} =\dfrac{1}{n}\rightarrow 0\left( n\rightarrow \infty \right)$
つまり、
$\begin{aligned}\left\| f_{n}-f_{m}\right\| _{1}\leq \left\| f_{n}-f\right\| _{1}+\left\| f-f_{m}\right\| _{1}\\ \leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}\rightarrow 0\left( n,m\rightarrow \infty \right) \end{aligned}$