【複素解析】複素関数の積分（1/z）型を例題で練習しよう

はじめに

この記事では『複素関数の積分（1/z）型』を練習します。

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複素関数の積分（1/z）型を例題で練習しよう

複素積分を求める。

$f\left( z\right) =\dfrac{1}{z}$ 　,　 $c:1\rightarrow i$

f:id:Dodgson:20210824104155p:plain

【解】

$z$ は媒介変数 $\theta$ を用いて

$z\left( \theta \right) =re^{i\theta }$

$\left( 0\leq \theta \leq \dfrac{\pi }{2}\right)$ と表せる。上の図より。

また、 $z'\left( \theta \right) =ire^{i\theta }$ より、

$\begin{aligned}\int _{c}\dfrac{1}{z}dz=\int _{0}^{\dfrac{\pi }{2}}\left( z\left( \theta \right) \right) ^{-1}z'\left( \theta \right) d\theta \ =\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}r^{-1}e^{-i\theta }ire^{i\theta }d\theta \ =i\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}d\theta =\dfrac{\pi i}{2}\end{aligned}$

おわり。

まとめ（感想）

解析入門Ⅱを解いていたら、ん？と見慣れない問題に出会ったので解いてみました。

問題文が少し不親切に感じたので、分かりやすいものに変更しました。

よく見るのは2πiですが、それはまた次回の記事で解きます。

最後に参考文献の紹介をします。

参考文献【杉浦光夫：『基礎数学3解析入門Ⅱ』東京大学出版会】

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続く。

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