ここでは、『単調減少で下に有界な数列は収束する』ことの証明をします。
『単調増加で上に有界』はこの逆をすれば証明できます。
解（証明）
単調減少で下に有界な数列をとする。
またこれをとおく。
このとき、下に有界より、下限が存在して、
である。
よって、かつ
･･･①
単調減少と①より、
として、
となる。
示せた。
※『単調増加で上に有界な数列は収束する』は、上の逆と上限のを使えば示すことができる。
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