【固有値】（正方行列）A^2=AとA^3=Aの場合を考える。（線形代数）

ここでは正方行列Aについて、A^2=AとA^3=Aの場合の固有値を求めます。
さっと確認したいときに使ってください。

固有値って？
A^2=A
A^3=A
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固有値って？

知ってるよと言われそうですが、確認までに。

正方行列 $A$ に対し、 $Ax=\lambda x$ となる $\lambda$ です。
ただし、 $x\neq 0$ ですので注意。

A^2=A

$A^2=A$ の場合の固有値を求めます。

$\begin{aligned}A^{2}x=A\left( \lambda x\right) \\ =\lambda \left( Ax\right) \\ =\lambda ^{2}x\end{aligned}$
と
$A^{2}x=Ax=\lambda x$
より、
$\left( \lambda ^{2}-\lambda \right) x=0$
なので、
$\lambda =0,1$

これが求めたい固有値（解）となります。

A^3=A

$A^3=A$ の場合の固有値を求めます。

$\begin{aligned}A^{3}x=A^{2}\left( \lambda x\right) \\ =\lambda \left( A^{2}x\right) \\ =\lambda ^{3}x\end{aligned}$
と
$A^{3}x=Ax=\lambda x$
より、
$\left( \lambda ^{3}-\lambda \right) x=0$
なので、
$\lambda =0,1,-1$

これが求めたい固有値（解）となります。
※途中、略している箇所があります。

早道＆おまけ

ぶっちゃけた話、 $\lambda$ だけの式を初めから使うのもありです。
わかっていたら、ですが。
ただし、メモ程度の範囲なので、試験などではしっかりと全部書くようにしましょう。

おまけ程度にその他、3以上でも同様にして求めることができます。
確認でやってみましょう。

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