【微分方程式】例題（初級）で変数分離形の解き方を知ろう（一般解と特異解）

はじめに
例題（初級）で変数分離形の練習
解答
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まとめ
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はじめに

この記事では微分方程式の『変数分離形』を例題を使って練習します。

前回の直接積分形がまだの方はそちらから見ることをおすすめします。

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例題（初級）で変数分離形の練習

$\dfrac{dy}{dx}=y^{2}-1$ を解く。

解答

$y^{2}-1\neq 0$ と

$y^{2}-1=0$ で場合分け。

$y^{2}-1\neq 0$ のとき①は、

$\dfrac{1}{y^{2}-1}dy=dx$ となる。

よって $\int \dfrac{dy}{y^{2}-1}=\int dx+C_{1}$ より、

$\dfrac{1}{2}\log \left| \dfrac{y-1}{y+1}\right| =x+C_{1}$ であり、

$\dfrac{y-1}{y+1}=Ce^{2x}$ となる。

$\begin{pmatrix} y-1=\left( y+1\right) Ce^{2x} \\ y-y\:Ce^{2x}= 1+Ce^{2x} \\ y\left( 1-Ce^{2x}\right) = 1+Ce^{2x} \end{pmatrix}$

よって $y=\dfrac{1+Ce^{2x}}{1-Ce^{2x}}$

$y^{2}-1=0$ のとき、すなわち $y=\pm 1$ のとき、

$y=1$ は一般解 $(C= 0)$ のとき、 $y=-1$ は特異解（任意定数 $C$ をどうとっても解が得られない時、特異解）。

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まとめ

①の問題は超有名なやつですね。

参考書なり、講義なり、結構見かけた気がします。

簡単だからですかね。

ちょっとミス（気にするほどでもない）のがありまして、最初の場合分けの所で $y^2-1\neq0$ と $y^2-1=0$ と書いた方がいいですね。

あとから気付いて「あちゃー…」ってなりましたｗ

時すでに遅し、されど問題なし、ですﾊｲ。

さて、変数分離形には多くのパターンがあります。

なので、できるだけ練習しておいた方がいいと思ったので、変数分離形の中級レベルの問題を次の記事でやることにします。

勉強したい方は次の記事に進んでください。

続きの記事のリンクはこのページの一番下にあります。

最後に、おススメしている参考書、マセマの微分方程式を紹介します。

まだ持っていないなら買っておきましょう。

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