【微分方程式】簡単！直接積分形の一般解と特殊解を例題で理解できる！

～簡単！直接積分形の一般解と特殊解を例題で理解できる！～

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この記事では微分方程式の『直接積分形の一般解と特殊解』を例題を使って練習します。

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

※2022最新、微分方程式まとめ＆練習500問記事があるので、下の方がいいと思います。

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{1-x^{2}}$ の一般解と初期条件 $y\left( 0\right) =1$ のときの特殊解を求める。

まず $y=\int \dfrac{-x}{1-x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{-2x}{1-x^{2}}dx$ より、

① $y=\dfrac{1}{2}\log \left| 1-x^{2}\right| +C$ （一般解）である。

何故なら、 $\int \dfrac{f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }dx=\log \left| f\left( x\right) \right|$ より。

次に、①に $y\left( 0\right) =1$ を代入して、 $C=1$ である。

よって求める特殊解は $y=\dfrac{1}{2}\log \left| 1-x^{2}\right| +1$

おわり。おまけで、例題を作ったので各自、練習でやってみよう。

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9}$ の一般解は？

$y=x-3\tan ^{-1}\dfrac{x}{3}+C$

ヒント：

$\int \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\dfrac{1}{a}\tan ^{-1}\dfrac{x}{a}$ （ $a\neq 0$ を使う！）

直接積分形なので、特に変わった事も無く、そのまま積分の形に持っていってやればいいです。

両辺に $dx$ を掛けて積分したら綺麗に解けますね。

変数分離形になるとややこしくなるのですが、それについては次の記事（ページの一番下にリンクあり）で解説します。

また、微分方程式についてはマセマで十分でしょう。

僕も講義を受けたときに教科書指定されたので、それで勉強しましたが微妙（というか分かりづらい）でした。

やっぱりマセマですね、ホント。

ということで、マセマの微分方程式を持ってないならついでに買っておくことを勧めます。

（※結構な量なので図書館で借りるのではキツイです）

リンク

↑ここからどうぞ。

持ってないなら買っておきましょう。

さて。

次は変数分離形の微分方程式に挑戦します。

続きの記事はこのページの一番下にありますので、スクロールして進んでください。

続く

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