【微分方程式500問】12,変数分離形の特殊な例（問題練習）

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変数分離形の特殊な例

前回までに変数分離形の簡単な問を解きましたが今回は難しめの問を解きます。
上の画像（サムネ）のとおり、 $y'=\sqrt{ax+by+c}$ ですが、少し工夫が必要です。

そのまま $dx$ と $dy$ に分けると計算できないので、まずは $u=ax+by+c$ とおきます。
この両辺を微分すると $u'=a+by'$ となります。
つまり、 $u'=a+b\sqrt{u}$ で、この新しい微分方程式を解けばいいわけです。

あとはいつも通りで
$\dfrac{du}{a+b\sqrt{u}}=dx$
なので積分して
$\displaystyle \int \dfrac{du}{a+b\sqrt{u}}=\int dx+C$

$v=\sqrt{u}$ とおくと、あとは

$\begin{aligned}\int \dfrac{2vdv}{a+bv}&=\dfrac{2}{b}\int \dfrac{-a+a+bv}{a+bv}dv&\\ &=\dfrac{2}{b}\int \left( 1-\dfrac{a}{a+bv}\right) dv&\\ &=\dfrac{2}{b}\left( v-\dfrac{a}{b}\log \left| a+bv\right| \right)&\\ &=\dfrac{2}{b}\sqrt{u}-\dfrac{2a}{b^{2}}\log \left| a+b\sqrt{u}\right|&\end{aligned}$

よって