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【線形代数】超便利!例題からフロベニウスの定理を使いこなす!

はじめに

この記事ではフロベニウスの定理を例題を使って確認、練習します。

 前回の記事の続きになりますので、こちらからどうぞ↓

dodgson.hatenablog.com

超便利!例題でフロベニウスの定理を使いこなす!

フロベニウスの定理とは何かを簡単に。

ある行列Aの固有値\lambda _{1}\sim \lambda _{n}を与えられた多項式に代入して掛けたものが行列式の値になる。

つまり、\left| f\left( A\right) \right| =f\left( \lambda _{1}\right) \ldots f\left( \lambda _{n}\right)ということ。

せっかくなので例を見てみよう。

 

例題

f:id:Dodgson:20210823230426p:plain

この場合、f\left( A\right) =A^{3}+2A^{2}+Eに対して、

\left| f\left( A\right) \right|がどうなるか考えてみよう。

この下に解答を載せるので、まずは自分でやってみよう。

 

例題の解

固有値5,3,1であるから、

f\left( t\right) =t^{3}+2t^{2}+1とおくと、

f\left( 5\right) =125+2\cdot 25+1=176

f\left( 3\right) =27+2\cdot 9+1=46

f\left( 1\right) =1+2\cdot 1+1=4

より、これらがf\left( A\right) =A^{3}+2A^{2}+E固有値

\left| f\left( A\right) \right| =176\cdot 46\cdot 4=32384と求まる。

おわり。

 

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