【関数解析｜問題】ノルムが凸関数になることの証明

ここではノルムが凸関数(convex function)になることの証明をします。
凸関数がわかれば、そこまでの問題でしょう。

凸関数とは

まずは確認しましょう。

実数値関数が、任意の（は凸関数の部分集合）と、
を満たすに対し、

を満たすとき、このを凸関数という。

でしたね。

ここで、として、等号が成立しないとき、『狭義』凸関数となります。
おまけ程度に。

証明のポイント

先に証明に移る前に考えてみましょう。
上の定義に従えば、をどうするか、ですね。

この下ですぐに証明します（解）。

証明

とする。

をノルムと考えて、

であることがわかります。

これは、確かにノルムの条件を満たしつつ、凸関数になっています。
よって示せた。

簡単ですね、そのままですから。

おわりに

他にも関数解析の問題を記事にしていきます。
練習用でも復習用でも使ってください。
現在準備中なので、記事はそこまで多くないのでブクマしてお待ちください。

数学記事まとめ（ブクマにおすすめ）
dodgson.hatenablog.com

関数解析おすすめ参考書まとめ
dodgson.hatenablog.com