ここではノルムが凸関数(convex function)になることの証明をします。
凸関数がわかれば、そこまでの問題でしょう。
凸関数とは
まずは確認しましょう。
実数値関数
が、任意の
(
は凸関数の部分集合)と、
を満たす
に対し、
![h\left( tf+\left( 1-t\right) g\right) \leq th\left( f\right) +\left( 1-t\right) h\left( t\right)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=h%5Cleft%28%20tf%2B%5Cleft%28%201-t%5Cright%29%20g%5Cright%29%20%5Cleq%20th%5Cleft%28%20f%5Cright%29%20%2B%5Cleft%28%201-t%5Cright%29%20h%5Cleft%28%20t%5Cright%29)
を満たすとき、この
を凸関数という。
でしたね。を満たすとき、この
ここで、として、等号が成立しないとき、『狭義』凸関数となります。
おまけ程度に。
証明のポイント
先に証明に移る前に考えてみましょう。
上の定義に従えば、をどうするか、ですね。
この下ですぐに証明します(解)。
証明
とする。
をノルムと考えて、
であることがわかります。
これは、確かにノルムの条件を満たしつつ、凸関数になっています。
よって示せた。
簡単ですね、そのままですから。
おわりに
他にも関数解析の問題を記事にしていきます。
練習用でも復習用でも使ってください。
現在準備中なので、記事はそこまで多くないのでブクマしてお待ちください。
数学記事まとめ(ブクマにおすすめ)
dodgson.hatenablog.com
関数解析おすすめ参考書まとめ
dodgson.hatenablog.com