複素積分の正方形を問で確かめるRez&Imz（1-i,1+i,-1+i,-1+i）

はじめに

ここでは複素積分の正方形の場合について問を使って確かめます。
問→答の順で進めていきます。詳しくは目次で。

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com

はじめに
複素積分の正方形
Re zの場合
Im zの場合
zはどうなるか？
おわりに＆おすすめ記事

複素積分の正方形

まずは、図を用意します。※マウスで書いたので綺麗じゃないです、すみません。
f:id:Dodgson:20220208104132p:plain
これは、1-i,1+i,-1+i,-1+iを頂点とした正方形（のつもり）です。
この周をCとし、以下二つの複素積分を求めてみましょう。

① $\displaystyle\int _{C}\mathrm{Re}\,z\,dz$

② $\displaystyle\int _{C}\mathrm{Im}\,z\,dz$

Re zの場合

①の時どうなるか。
わけて考える必要があるので、

$\displaystyle\int _{C}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int _{C_{1}}\mathrm{Re}\,z\,dz+\int _{C_{2}}\mathrm{Re}\,z\,dz+\int _{C_{3}}\mathrm{Re}\,z\,dz+\int _{C_{4}}\mathrm{Re}\,z\,dz$

このようにします。
また、
$C_{1}$ を1-i→1+i
$C_{2}$ を1+i→-1+i
$C_{3}$ を-1+i→-1+i
$C_{4}$ を-1+i→1-i
であるとします。

そこで、まず $C_{1}$ からやっていきます。

$C_{1}$ は $t\in \lbrack{-1,1}\rbrack$ において
$C_{1}:z\left( t\right) =1+it$ なので
$\displaystyle\int _{C_{1}}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int ^{1}_{-1}idt=2i$

筆者も間違いそうになったのですが、dzからdtにしてますからね。
一旦微分しておくことを忘れないように。
例えば、上はRe zが1、 $\dfrac{dt}{dz}=i$ なので、 $1\times i$ より、 $i$ の積分になっています。

次は $C_{2}$ です。

$C_{2}$ は $t\in \lbrack{-1,1}\rbrack$ において
$C_{2}:z\left( t\right) =-t+i$ なので
$\displaystyle\int _{C_{2}}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int ^{1}_{-1}tdt=0$

次は $C_{3}$ です。

$C_{3}$ は $t\in \lbrack{-1,1}\rbrack$ において
$C_{3}:z\left( t\right) =-1-it$ なので
$\displaystyle\int _{C_{2}}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int ^{1}_{-1}idt=2i$

最後に $C_{4}$ です。

$C_{4}$ は $t\in \lbrack{-1,1}\rbrack$ において
$C_{4}:z\left( t\right) =t-i$ なので
$\displaystyle\int _{C_{4}}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int ^{1}_{-1}tdt=0$

よって、
$\displaystyle\int _{C}\mathrm{Re}\,z\,dz=4i$
です。

Im zの場合

Re zとやり方は同じなので省略しますが、
部分的に書いておきますと、
$C_{1}$ が0、 $C_{2}$ が-2、 $C_{3}$ が0、 $C_{4}$ が-2
なので、
$\displaystyle\int _{C}\mathrm{Im}\,z\,dz=-4$ となります。

確認してみてください。

zはどうなるか？

おまけついでにzの場合もしておきましょう。

$\displaystyle\int _{c}zdz=\int _{c}\mathrm{Re}\,z\,dz+i\int _{c}\mathrm{Im}\,z\,dz$
であるので、
zの場合は、0ということになります。

おわりに＆おすすめ記事

他にも数学記事を書いているのでよかったら見てください。
一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
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数学記事まとめです⇩

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