【集合位相】（証明）自然数Nと整数Zの濃度は等しい（可算集合である）

はじめに
濃度が等しいなら…
証明
おわりに

はじめに

ここでは集合論の自然数 $\mathbb{N}$ と整数 $\mathbb{Z}$ の濃度が等しいこと（可算集合である）ことの証明をします。

≫数学記事まとめはこちら

⇩一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com

濃度が等しいなら…

分かっている人は飛ばしてもいいですが…
定義より、濃度が等しいなら全単射が存在します。
これを使って証明します。

証明

（上のとおり、全単射のものを作ればよいだけ。ここでは有名な例を使います）
$n\in \mathbb{N}$ に対し、 $n\rightarrow \left( -1\right) ^{n}\lbrack\dfrac{n}{2}\rbrack$ とする。
ただし、 $\lbrack \rbrack$ はガウス記号とする。
※ガウス記号について詳しくは下の記事で説明しています。
dodgson.hatenablog.com

これは確かに $\mathbb{N}$ から $\mathbb{Z}$ への全単射となっています。

※確認までに、 $\begin{aligned}&1\rightarrow 0&\\ &2\rightarrow 1&\\ &3\rightarrow -1&\\ &4\rightarrow 2&\\ &5\rightarrow -2&\\ &\quad\vdots& \end{aligned}$ となっています。