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【集合位相】(証明)自然数Nと整数Zの濃度は等しい(可算集合である)

はじめに

ここでは集合論自然数\mathbb{N}と整数\mathbb{Z}の濃度が等しいこと(可算集合である)ことの証明をします。

≫数学記事まとめはこちら

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dodgson.hatenablog.com

濃度が等しいなら…

分かっている人は飛ばしてもいいですが…
定義より、濃度が等しいなら全単射が存在します
これを使って証明します。

証明

(上のとおり、全単射のものを作ればよいだけ。ここでは有名な例を使います)
n\in \mathbb{N} に対し、n\rightarrow \left( -1\right) ^{n}\lbrack\dfrac{n}{2}\rbrack とする。
ただし、\lbrack \rbrackガウス記号とする。
ガウス記号について詳しくは下の記事で説明しています。
dodgson.hatenablog.com

これは確かに\mathbb{N}から\mathbb{Z}への全単射となっています。

※確認までに、\begin{aligned}&1\rightarrow 0&\\ &2\rightarrow 1&\\ &3\rightarrow -1&\\ &4\rightarrow 2&\\ &5\rightarrow -2&\\ &\quad\vdots& \end{aligned}となっています。

よって、全単射が存在するので濃度が等しく、整数は可算集合である。

おわりに

濃度、可算集合の問題で\mathbb{N} \times \mathbb{N} というのがあります。
難しいので(人にもよりますが)、やってみてもいいでしょう。
簡単な方でいくと2^{p-1}を使いますね。

その他、数学記事を書いていますので、よかったら見てください。

数学記事まとめです⇩
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