【微分方程式】一階線形微分方程式(応用問題の解き方＆例題)《一般解のみ》

はじめに
一階線形微分方程式の応用問題の解き方
まとめ
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はじめに

ここでは一階線形微分方程式の問題を載せています。練習用として使ってください。

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一階線形微分方程式の応用問題の解き方

いつもと違い、今回は例題多めになります。

（さすがに例題一つでは応用はきついと思ったので）

それでは例題をどうぞ。

1階線形微分方程式（応用）

① $y'+2xy=2x$ を解く

基本、 $y'+P\left( x\right) y=Q\left( x\right)$ ,

$\left( P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \right)$ これらはxの関数。

この式の一般解は、 $y=e^{\left( -\int P\left( x\right) dx\right) }\left( \int Q\left( x\right) e^{\int P\left( x\right) dx}dx+c\right)$ である。

これを使い、①を解く。

解答：

$\begin{aligned}y=e^{-\int 2xdx}\left( \int 2xe^{\int 2xdx}dx+c\right) \\ =1+ce^{-x^{2}}\end{aligned}$

途中式は省略した。練習で結果と同じになるか確かめてみよう。

もう1問解いてみよう。

1階線形微分方程式（応用）その２

② $y'+2xy=2xe^{-x^{2}}$ を解く

解答はすぐ下。

解答：

$\begin{aligned}y'=e^{-\int 2xdx}\left( \int 2xe^{-x^{2}}e^{\int 2xdx}dx+c\right) \\ =e^{-x^{2}}\left( x^{2}+c\right) \end{aligned}$

次。もう1問。

1階線形微分方程式（応用）その３

③ $y'+y=e^x$ を解く

解答はすぐ下。

解答：

※ $y_{1}=Ae^{x}$ が１つの解なので、別の解法 $y=y_{1}+ce^{\int P\left( x\right) dx}$ で解いてみる。

まず、 $y_{1}=Ae^{x}$ を③の式に代入して、

$2Ae^{x}=e^{x}$ より $A=\dfrac{1}{2}$

よって、

$\begin{aligned}y=\dfrac{e^{x}}{2}+ce^{-\int dx}\\ =\dfrac{e^{x}}{2}+ce^{-x}\end{aligned}$

以上、おわり。

まとめ

今回は今までやってきた微分方程式の初級～上級の応用編になります。

①と②は問題ないでしょう。

式によっては積分の計算がつらくなりますがね。

③ですが、解が一つでも見つけられるのなら楽ができます。

やり方は解答でやっているとおり。

解が簡単に見つけられるかは右辺が $x$ の単純なものかどうかで判断しましょう。

見つけられなかったら、①②と同じやり方でもできます。

さすがに微分方程式やっている段階で知らない人はいないと思いますが、 $\exp(x)$ とは $e^x$ のことですね。

昔、数学の講義でexpで経験値とかふざけたこと言ってる人がいましたが、激寒なのでこの記事を見ている人はやめときましょうね……

続きは次の記事にあります。

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