【線形代数】（例題）連立一次方程式の解と次元の求め方

はじめに

この記事では『連立一次方程式の解と次元の求め方』を例題で練習します。

連立一次方程式の解と次元の求め方

・解と次元を求める。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & -1 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これを解いてみよう。

まずは、このままだとわかりにくいので変形。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & -1 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 3 & -3 & 6 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、
$\begin{cases}x_{1}+x_{3}+2x_{4}+x_{5}=0\\ -x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=0\end{cases}$

ここで、 $x_{3}=a,x_{4}=b,x_{5}=c$ とすると、

$\begin{cases}x_{1}=-a-2b-c\\ x_{2}=-a+b-2c\end{cases}$

したがって、

$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

以上より、次元は $3$ であることがわかった。

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