ここでは、集合論の基礎確認をします。
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『全射、単射、全単射』とは、写像の性質を表す言葉です。集合を対象とする数学では、集合と集合の間の関係を定式化するために写像という概念が使われます。ここでは、写像における『全射、単射、全単射』について説明します。全射
まず、『全射』について説明します。写像 が全射であるとは、任意の
に対して、ある
が存在して、
となることを言います。つまり、集合
の全ての元に対して、
が少なくとも一つの元を対応付けることができるということです。
例えば、写像 を
で定義すると、
は全射です。なぜなら、任意の
に対して、
が成り立つからです。つまり、全ての実数
について、
が少なくとも一つの実数
を対応付けることができます。
単射
次に、『単射』について説明します。写像 が単射であるとは、異なる
に対して、
となることを言います。つまり、集合
の異なる元に対して、
が異なる元を対応付けることができるということです。
例えば、写像 を
で定義すると、
は単射ではありません。なぜなら、
となってしまうため、
は異なる実数
と
に対して、同じ実数
を対応付けてしまうからです。
全単射
最後に、『全単射』について説明します。写像 が全単射であるとは、全射かつ単射であることを言います。つまり、任意の
に対して、唯一つの
が存在して、
となるということです。
例えば、写像 を
で定義すると、
は全単射です。なぜなら、全ての実数
について、
が唯一つの実数
を対応付けることができます。つまり、
は全ての実数に対して全射であり、また、異なる実数に対して異なる実数を対応付けることができるため、単射でもあります。
まとめ
以上のように、写像において『全射、単射、全単射』という概念があります。全射は、集合 の全ての元に対して、
が少なくとも一つの元を対応付けることができることを言います。単射は、集合
の異なる元に対して、
が異なる元を対応付けることができることを言います。全単射は、全射かつ単射であることを言います。
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