【複素関数】双曲線関数（余弦,正弦）と逆関数＆微分について

ここでは複素関数での『双曲線関数（余弦,正弦）と逆関数＆微分について』を確認します。
逆関数はそれぞれ逆双曲余弦関数、逆双曲正弦関数とも。

双曲余弦関数は
$\cosh z=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}$
です。

双曲正弦関数は、
$\sinh z=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}$
です。

あとで問題で確認しますが、微分すると入れ替わります。

逆関数をそれぞれ求めてみましょう。

ここでは逆双曲余弦関数を解きますが、逆双曲正弦関数は問題とします。

まず、
$\cosh z=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}$ なので、
これを $t$ とおきます。

すると、
$\left( e^{z}\right) ^{2}-2te^{z}+1=0$ であることがわかりますので、
$z$ について解くと、

$z=\log \left( t+\sqrt{t^{2}-1}\right)$ となります。

よって、求める解（逆双曲余弦関数）は
$\cosh ^{-1}z=\log \left( t+\sqrt{t^{2}-1}\right)$ です。

逆双曲正弦関数を求めてみましょう。

やり方は上と同じです。

双曲正弦関数は、
$\sinh z=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}$
ですので、
解（逆双曲正弦関数）は、
$\sinh ^{-1}z=\log \left( t+\sqrt{t^{2}+1}\right)$
となります。

双曲線関数を微分すると入れ替わります。
つまり、
$\dfrac{d}{dz}\cosh z=\sinh z,\dfrac{d}{dz}\sinh z=\cosh z$
となるわけですね。
簡単。

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