可算の濃度（アレフゼロ）が最小の無限濃度となることの証明

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はじめに

ここでは『可算の濃度（アレフゼロ）が最小の無限濃度となることの証明』をします。
参考文献は、森田茂之『集合と位相空間』,朝倉書店 (2002/6/10)です。

証明

『可算の濃度（アレフゼロ）が最小の無限濃度となる』
これを表すと
任意の無限濃度を $n$ として、 $\aleph_{0}\leq n$ が成立することである。
なので、この無限濃度をもつ集合を $X$ とし、
$\aleph_{0}\leq \left| X\right|$ を示せばよい。

まず、任意の有限部分集合 $A\subset X$ に対し、
$A^{c}\neq \phi$ である。
$X$ の有限部分集合の全体で、べき集合の部分集合を $F$ とすれば、
$A\in F$ に対し、 $A^{c}\neq \emptyset$ である。

ここで選択公理を使い、選択関数 $f:F\rightarrow \displaystyle \bigcup_{A\in F} A^{c}$ が存在する。
あとは上の関数を元に、
$X$ の部分集合① $\left\{ x_{1},x_{2},\ldots \right\}$ に対して、
$x_{1}=f\left( \phi \right) ,x_{2}=f\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) ,x_{3}=f\left( \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \right)$ ・・・
とすれば、①は可算（つまり、 $\aleph_{0}$ ）。
よって単射なものが作れる。
すると濃度の大小関係として $\aleph_{0}\leq \left| X\right|$ が求まる。