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【集合位相】集合論の基礎#4(写像とその定義域と値域、集合の像、逆像)


ここでは、集合論の基礎確認をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

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写像とその定義域と値域、集合の像、逆像について

写像

集合 X と集合 Y の間に写像 f があるとは、X のそれぞれの要素 x に対して、 Y の一つの要素 y が対応していることを言い、f:X \to Yと表します。

定義域と値域

写像 f:X\to Y の定義域 X は、f が定義される集合のことです。

一方、写像 f:X\to Y の値域 Y は、f が取りうる値の集合です。

集合の像

写像 f:X\to Y の像とは、fX の部分集合 A を代入したときに、A の要素を f で写した先、f(A)のことを言います。
これは、f(A)=\{f(x)| x\in A\} と定義されます。

要するに、集合 Af で写した先の値の集合が、写像 f の像となるわけです。
例えば、写像 f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}f(x)=x^2 と定義するとき、f([-1,1])=[0,1] となります。

逆像

写像 f:X\to Y の逆像とは、Y の部分集合Bに対して、f(x) \in B となるXの要素xの全体、f^{-1}(B)のことを言います。
これは、 f^{-1}(B)=\{x|f(x)\in B\} と定義されます。

要するに写像 fy に写る要素の集合が、f の逆像となります。
例えば、写像 f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}f(x)=x^2 と定義するとき、f^{-1}([0,1])=[-1,1] となります。

集合の像の性質(公式)

集合の像の性質(公式)をいくつか紹介します。
より多くの公式や、証明(解答)解説は、下で紹介するおすすめ参考書、または私の電子書籍よりご確認ください。

A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow f\left( A_{1}\right) \subset f\left( A_{2}\right)

B_{1}\subset B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right)

f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) =f\left( A_{1}\right) \cup f\left( A_{2}\right)

などなど。

続きます→

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おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数(初心者向け)
≫線形代数(上級者向け)
≫集合位相
≫複素関数
≫微分方程式
≫確率論
≫関数解析
≫洋書(初心者向け)
≫洋書(上級者向け)
≫LaTeX効率化・おすすめ本

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