【集合位相】集合論の基礎#4(写像とその定義域と値域、集合の像、逆像)

ここでは、集合論の基礎確認をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

準備中…

※よければチャンネル登録お願いします。

写像とその定義域と値域、集合の像、逆像について

集合 $X$ と集合 $Y$ の間に写像 $f$ があるとは、 $X$ のそれぞれの要素 $x$ に対して、 $Y$ の一つの要素 $y$ が対応していることを言い、 $f:X \to Y$ と表します。

写像 $f:X\to Y$ の定義域 $X$ は、 $f$ が定義される集合のことです。

一方、写像 $f:X\to Y$ の値域 $Y$ は、 $f$ が取りうる値の集合です。

写像 $f:X\to Y$ の像とは、 $f$ に $X$ の部分集合 $A$ を代入したときに、 $A$ の要素を $f$ で写した先、 $f(A)$ のことを言います。
これは、 $f(A)=\{f(x)| x\in A\}$ と定義されます。

要するに、集合 $A$ を $f$ で写した先の値の集合が、写像 $f$ の像となるわけです。
例えば、写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x^2$ と定義するとき、 $f([-1,1])=[0,1]$ となります。

写像 $f:X\to Y$ の逆像とは、 $Y$ の部分集合 $B$ に対して、 $f(x) \in B$ となる $X$ の要素 $x$ の全体、 $f^{-1}(B)$ のことを言います。
これは、 $f^{-1}(B)=\{x|f(x)\in B\}$ と定義されます。

要するに写像 $f$ で $y$ に写る要素の集合が、 $f$ の逆像となります。
例えば、写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x^2$ と定義するとき、 $f^{-1}([0,1])=[-1,1]$ となります。

集合の像の性質（公式）をいくつか紹介します。
より多くの公式や、証明（解答）解説は、下で紹介するおすすめ参考書、または私の電子書籍よりご確認ください。

① $A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow f\left( A_{1}\right) \subset f\left( A_{2}\right)$

② $B_{1}\subset B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right)$

③ $f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) =f\left( A_{1}\right) \cup f\left( A_{2}\right)$

などなど。

続きます→

noteでメンバーシップをしています。
ドジソンのメンバーシップ｜ドジソン
数学で中心に投稿・活動していますので、よければ参加＆支援してください。

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

『大学数学記事まとめ』は下から！
dodgson.hatenablog.com

ドジソンの本棚