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【証明】有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分

はじめに

ルベーグ積分の準備回です。
前回の記事でDarboux(ダルブー)の上積分と下積分の確認をした。
今回はそれを使って『有界区間上の連続関数はリーマン可積分』を証明する。
前回の記事がまだの方は先にどうぞ⇩
dodgson.hatenablog.com

≫数学記事まとめはこちら

証明『有界区間上の連続関数はリーマン可積分

I有界区間とし、fを連続関数とする。
このとき、Iはコンパクトである。ゆえに、Iは一様連続である。
(※メモ※『コンパクト⇒一様連続』の証明は別記事で。)

なので、任意の\eta  >0に対し、\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| <\eta ,\left( x,y\in I_{j}\right)である。

ここで、I_{j}区間をそれぞれ細かくとると、
\overline{f}_{j}-\underline{{f}_{j}} <\eta とできる。

\overline{s}\left( f,\Delta \right) -\underline{s}\left( f,\Delta \right) =\displaystyle\sum ^{n}_{j=1}\left( \overline{f}_{j}-\underline{{f}_{j}}\right) \left| I_{j}\right|
なので、\eta =\dfrac{\varepsilon }{\left| I\right| }とおくと、


\overline{s}\left( f,\Delta \right) -\underline{s}\left( f,\Delta \right) =\displaystyle\sum ^{n}_{j=1}\left( \overline{f}_{j}-\underline{{f}_{j}}\right) \left| I_{j}\right|<\sum ^{n}_{j=1}\dfrac{\varepsilon }{\left| I\right| }\cdot \left| I_{j}\right| =\varepsilon

\varepsilon \rightarrow 0として、(ダルブーの)上・下積分は等しいので、リーマン可積分である。

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