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【線形代数】簡単！二次の直交行列の求め方（問：全て求めよ）

数学線形代数

はじめに

この記事では『二次の直交行列の求め方』の求め方を解説します。

二次の直交行列の求め方

まずは解から。

《解》

f:id:Dodgson:20210823170903p:plain 　,　 f:id:Dodgson:20210823171010p:plain 　,　ただし、

何故こうなるのだろうか。

下で説明する。

まず2次の直交行列は行列式が $\pm 1$ のものである。

これは、 $\left| A\right| ^{2}=\left| ^{t}\!AA\right| =\left| A^{-1}A\right| =\left| E\right| =1$ よりわかる。

※転置から逆行列になるのは直交行列の性質より。

このとき、 $\left| A\right| =1$ （正格直交）と $\left| A\right| =-1$ （変格直交）

これら二種類があることが分かる。

※ $\left| A\right| =1$ は回転ともいう。

それではこれらを確認したところで、実際に解き進めていこう。

求め方：解

f:id:Dodgson:20210823172708p:plain

とおく。

このとき、

f:id:Dodgson:20210823173043p:plain

であるので、

$\begin{cases}a^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}=1\\ ab+cd=0\end{cases}$

となることがわかる。

第一式より、 $a=\cos \theta ,c=\sin \theta ,b=\cos \varphi ,d=\sin \varphi$

とおける。

二式に代入して、

$\cos \theta \cos \varphi +\sin \theta \sin \varphi =\cos \left( \theta -\varphi \right) =0$

よって、 $\theta -\varphi =\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3}{2}{\pi }$

これはより。

なので、 $\varphi =\theta -\dfrac{\pi }{2},\theta -\dfrac{3}{2}\pi$

したがって、

$\begin{aligned}1,b=\cos \left( \theta -\dfrac{\pi }{2}\right) =\sin \theta 　d=\sin \left( \theta -\dfrac{\pi }{2}\right) =-\cos \theta \end{aligned}$

$\begin{aligned}2,b=\cos \left( \theta -\dfrac{3}{2}{\pi }\right) =-\sin \theta 　d=\sin \left( \theta -\dfrac{3}{2}{\pi }\right) =\cos \theta \end{aligned}$

おわり。

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