【証明】ノルム空間のスカラー倍は連続

ここでは、『ノルム空間 $X$ のスカラー倍は連続』を証明します。

問
解（証明）
おわりに＆おすすめ

問

ノルム空間 $X$ のスカラー倍は連続となることを示そう。

解（証明）

ノルム空間 $X$ のスカラー倍は連続となることを示す。
すなわち、スカラー倍を $\alpha _{n}\rightarrow \alpha$ ･･･①,
$X$ で $x_{n}\rightarrow x$ ･･･②としたとき、
$\alpha _{n}x_{n}\rightarrow \alpha x$ であればよい。

これは以下の式よりわかる。

$\begin{aligned} \left\| \alpha_{n}x_{n}-\alpha x\right\| &=\| \left( \alpha _{n}-\alpha \right) \left( x_{n}-x\right)+\left( \alpha _{n}-\alpha \right) x+\alpha \left( x_{n}-x\right) \| &\\&\overset{①,②より}\leq \left| \alpha _{n}-\alpha \right| \left\| x_{n}-x\right\| +\left| \alpha _{n}-\alpha \right| \left\| x\right\| +\left| \alpha \right| \left\| x_{n}-x\right\|&\\ &\rightarrow 0&\end{aligned}$

より示せた。

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