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【代数学・群①】群の定義の確認

はじめに

ここでは代数学の群でまず初めにするであろう、群の定義を確認する。

※間違い、ご指摘などがあれば(https://twitter.com/Dodgson_007)のDMにご連絡ください。
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★この記事について(数学記事のQ&A - ドジソンの本棚

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

 

群の定義

\(G\neq \emptyset\)とする。(←意外と忘れられる)
このとき、

①\(\forall a\in G\)に対して\(a\cdot e=e\cdot a=a\)を満たす\(e\in G\)【単位元】が存在する。

②\(\forall a\in G\)に対して\(ab=ba=e\)となる\(b=a^{-1}\in G\)【逆元】が存在する。

③\(\forall a,b,c\in G\)に対し、\(\left( a\cdot b\right) \cdot c=a\cdot \left( b\cdot c\right)\)で【結合法則】が成立する。

①~③を満たすとき、\(G\)を群という。

また、群\(G\)において、

④\(a,b\in G\)に対して、常に\(ab=ba\)が成立する、すなわち可換であるとき、【アーベル群(可換群)】という。

以上、覚えておこう。

確認が終わったところで今回はここまで。
次は、証明問題を解いてみる。
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