【微積】広義積分の問題練習#2（a^xの積分）《大学数学の基礎》

今回は広義積分の問題練習をします。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

問題
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解き方
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問題

今回解いていくのはこちらです。
$\displaystyle\int ^{\infty }_{1}a^{x}dx,(a >0,a\neq 1)$

よく見る形ですが、油断しないように。

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解き方

前回同様、∞のままでは計算に困るので、 $N$ とおき、 $\lim _{N\rightarrow \infty }\int _{1}^{N}$ としましょう。

すると、
$\begin{aligned}\lim _{N\rightarrow \infty }\int ^{N}_{1}a^{x}dx=\lim _{N\rightarrow \infty }\lbrack \dfrac{a^{x}}{\log a}\rbrack _{1}^{N}\\ =\lim _{N\rightarrow \infty }\dfrac{a^{N}-a}{\log a}\end{aligned}$
となります。

よって、解は
$a >1$ のとき、 $\infty$
$0 ＜a ＜1$ のとき、 $\dfrac{-a}{\log a}$
と求まります。

※ちなみに・・・
$\begin{aligned}\int a^{x}dx=\int e^{\log a^{x}}dx\\ =\int e^{x\log a}dx\\ =\dfrac{a^{x}}{\log a}+C\end{aligned}$
です。

おわり。動画ではもう少し詳しく解説していますので、そちらも参考にしてください。
※問題は続きます。
次→準備中…

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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