【集合位相】被覆と開被覆の定義を確認しよう

被覆と開被覆の定義を確認しよう

f:id:Dodgson:20210306163217j:plain

この記事では『被覆と開被覆の定義』を確認します。

確認なので簡単に済ます。

まず被覆とは、

$X$ を位相空間とし、開集合の族 $(X_i)_{i\in I}$ が存在し、

$X=\displaystyle\bigcup _{i\in I}X_{i}$

これが成立すること。

もっといえば、 $\bigcup _{i\in I}X_{i}$ に被覆される。

そして、この $\bigcup _{i\in I}X_{i}$ を $X$ の開被覆という。

ついでに、部分集合の被覆、開被覆も見てみる。

$X$ の部分集合 $V$ があったとする。

このとき、 $V\subset X=\displaystyle\bigcup _{i\in I}X_{i}$ となるので、

これは $V$ が $\bigcup _{i\in I}X_{i}$ で被覆される。

そして、この $\bigcup _{i\in I}X_{i}$ を $V$ の開被覆という。

これで十分だと思われるが、さらに、あるいはしっかり確認したいなら集合位相の本で各自確認してほしい。

次は、この被覆より、重要な定理が出てくるのでそれも紹介。

簡単にいうと、有界閉集合⇔コンパクトをいうもの。

詳しくは下の記事にて解説。

本で確認したいなら、下の本がおすすめ。

リンク

ドジソンの本棚