【集合・位相】ハイネ・ボレルの被覆定理～コンパクトと有界閉集合～

この記事では『ハイネ・ボレルの被覆定理～コンパクトと有界閉集合～』を確認します。

※間違い、ご指摘などがあれば（https://twitter.com/Dodgson_007）のDMにご連絡ください。
お問い合わせフォームからもどうぞ（https://dodgson.hatenablog.com/about）

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com

本題に入る前に、被覆定理の『被覆』って何ぞや、という方は
『被覆と開被覆』の記事で確認してほしい。
dodgson.hatenablog.com
さて、

ハイネ・ボレルの被覆定理を考える前に、

コンパクト、有界閉集合の関係を確認する。

$X$ を距離空間とし（ただし $X=\mathbb{R} ^{n}$ とする）、

$X$ の部分集合 $A$ において①と②は同値関係にある。

① $A$ はコンパクト

これらの証明は教科書参考書に譲り、ここでは事実のみ記す。

※詳しい解説は以下の『集合と位相』に載っている。

リンク

↑余裕があるなら持っておこう。

さて、話を戻して、これらの関係をハイネ・ボレルの被覆定理という。

ハイネ・ボレルの被覆定理より有界閉集合⇒コンパクトをいう場合が多い。

ほとんどこれ。

逆はあまり。

また、

$a\leq b$ に対して閉区間は $\mathbb{R}$ のコンパクト

※ただし $a,b\in \mathbb{R}$

こっちも使えるようにしたいところ。

証明は少々長い。

こちらの証明も上で紹介した『集合と位相』に載っている。

なので（証明は）そちらに任せる。

ついでにコンパクトについて覚えておきたい定理があるので確認する。

定理①：コンパクト空間の任意の閉集合はコンパクト

定理②：ハウスドルフ空間 $X$ の任意のコンパクト集合は $X$ の閉集合

$X$ は位相空間とする。

任意の $x,y\in X$ に対し、 $x\neq y$ ならば、 $x$ の開近傍 $U$ と $y$ の開近傍 $V$ が存在して、

$U\cap V= \phi$

これを満たす $X$ をハウスドルフ空間という。

今回は定理の確認をした。
証明は各自でやるか、あるいは以下の『集合と位相』にて。

リンク

普段は数学記事書いているので、↓こちらも（勉強したい方は）どうぞ。
dodgson.hatenablog.com