【超簡単】ガウス関数の積分の計算の流れを覚えてしまおう

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※前回のガウス積分の記事で $e^{-x^{2}}$ の場合を考えましたが、今回はより一般的な場合でどうなるか計算します。

前回の記事を先に見ておくと理解しやすいので、そちらからどうぞ。↓

dodgson.hatenablog.com

ガウス関数の積分、その流れ

$F=\int ^{\infty }_{-\infty }e^{-ax^{2}}dx=\sqrt{\dfrac{x}{a}}$

今回はこれを示したい。

前回の記事でやったように、 $F^{2}$ にしてやっていけばいいのは分かる。

なので、

$F^{2}=\int ^{\infty }_{-\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a\left( x^{2}+y^{2}\right) }dxdy$

これを極座標に変換し、

$\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}$

より、

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

$dxdy=rdr$

となる。

そこで、 $F^{2}$ は、

よって、 $F=\sqrt{\dfrac{x}{a}}$

おわり。

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