自然数の底（ネイピア数e）と極限の応用例①【高校・大学数学】

はじめに

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★この記事について（数学記事のQ＆A - ドジソンの本棚）

例①　～eになるとは限らない～

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}=e$

であることはすでに知っているだろう。

なんとなくこの形が出たら『eだな』と決めつけてしまいがちだが……

そうでない例も存在する。

というわけで。

今回は初回ということで少し捻くれた問題を取り上げてみることにする。

解答もすぐ下に載せるが、とりあえず自分で解いてみよう。

問

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n}$

んん？となるだろう。

$n$ が $n^2$ だからね。

ただ、 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}=e$

基本はこれなので、あとはどうするか、だ。

★これを解くのは難しいと思います。

ヒント

ヒントは、 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n^{2}}=e$ となること。

解答

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty } \left( 1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n^{2}}=e$ より、 $e >\varepsilon >0$ に対し、 $N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ が存在し、
$n\geq N\left( \varepsilon \right)$ ならば、

よって、 $1 <\left( \left( 1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n^{2}}\right) ^{\dfrac{1}{n}} <\left( 2e\right) ^{\dfrac{1}{n}}$
であるので、
あとは
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 2e\right) ^{\dfrac{1}{n}}=1$

なので、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n}=1$

以上より、求める解は $1$ で示せた。

裏話

この問題を記事にしたキッカケは、 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}=e$ を使って、
分母の $n$ を $2n$ に置き換えたら $\sqrt{e}$ となるのを見て、
『せや、ついでに $n^2$ も調べたろ。』と思ったからですね。
結果、綺麗に $1$ が出たというわけ。
ちょっとした発見ですね。
~~僕が先生ならテストに出してみたいです。~~
★ちなみに、『分母の $n$ を $2n$ に置き換えたら $\sqrt{e}$ となる』は何故だかわかりますか？
僕の場合、 $2n$ を $t$ と置き換えてやりますね（簡単な作業ゆえ、特に頭使わずに済むので）