ケーリー・ハミルトンの定理の使い方と応用例

この記事では『ケーリー・ハミルトンの定理の使い方と応用例』を例題で練習する。

二次正方行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ があり、
$A^{2}-\left( a+d\right) A+\left( ad-bc\right) I=O$ であることはすでに知っている、覚えていることだろう。

ここから、 $A^{2}=\left( a+d\right) A-\left( ad-bc\right) I$ となることがわかるので、 $A^n$ を求めることができるわけだ。
やり方は、両辺に $A$ をかけて、 $A^3$ 、 $A^4$ はどうなのか調べる単純作業。

次は、この定理を使って問題を解いてみよう。
あまり見ないパターンなのでよい練習になると思う。

まず前提として、 $A^{n}=O,( n\geq 1)$ であるとする。
ただし、 $A^{n-1}\neq O$ 。
そこで、 $A^2$ がどうなるか調べよう。

$A^{2}-\left( a+d\right) A+\left( ad-bc\right) I=O$
これに $A^{n-1}$ と $A^{n-2}$ をかけてみると、それぞれ $ad-bc=0,a+d=0$ となることがわかる。
よって、 $A^{2}=O$ であることがわかった。

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