【確率論】確率変数の最大値最小値がまた確率変数になる（max,min）

ここでは、確率変数の最大値・最小値がまた確率変数となることを示します。

確率変数の話に入る前に、確率空間について確認しておきましょう。
dodgson.hatenablog.com

上の記事でも使った $\mathcal{F}$ に対して、確率変数とは、
$\left\{ w| X\left( w\right) \leq a\right\} \in \mathcal{F}$ となることでした。

詳しくは各参考書で確認しましょう。

そこで問題は、確率変数 $X,Y$ に対して、最大値と最小値(max,min)をとると、
また確率変数になるのかどうかということです。

確率変数 $X,Y$ に対して、その最大値と最小値、つまり、
$\max \left( X,Y\right) ,\min \left( X,Y\right)$ は確率変数となるかどうか確かめよう

max,minについてわかっていれば解けるはずです。
※↓（横にスライドして見てください）

$\begin{aligned}\left\{ \max \left( X,Y\right) \leq a\right\} =\left\{ X\leq a\right\} \cap \left\{ Y\leq a\right\} \in \mathcal{F}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\left\{ \min \left( X,Y\right) \leq a\right\} =\left\{ X\leq a\right\} \cup \left\{ Y\leq a\right\} \in \mathcal{F}\end{aligned}$

示せた。

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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