はじめに
ここではガウス記号とそれを満たす整数の一意性を解説します。
ガウス記号そのものの証明は解析入門などに譲ります。
ただ、一意性の証明が不親切だったので、それについてはここで証明し直すことにします。
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ガウス記号とは？
知っている人も多いでしょうが、一応確認しておきましょう。
ガウス記号とは、で次を満たす。
任意のに対し、
を満たす
がただ一つ存在する。
これがです。
証明は各自。
下で一意性の部分の証明をします（といっても短いですが）
一意性
とりあえず、
任意のに対し、
を満たす
が存在する
まではOKとします。
このがただ一つであることを示します。
そこでまず、を満たす
を用意します。
つまり、の他にも同じようなものがあるとしたわけです。
このとき、となります・・・①
ここまでは分かるはずです。
この時点ですでにガウス記号のに反しているから、というので終わらすのは不親切なので、もう少し見てみます。
つまり、上①の何がまずいかというと、
ガウス記号のより、
かつ
であるはずですが…
まずに関しては、
でなければならないのですが、逆になっています。
に関しては、
ですがこれも逆で、
とならなければいけないのです。
なので、矛盾となって、の他は存在しないからただ一つ。
というわけです。
これで一意性が示せました。
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