【線形代数】行列のトレースを使った証明（AB=BA）

はじめに
トレースの性質
AB=BA
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はじめに

今回はトレースを使った証明で面白いものを見つけたので紹介。

トレースの性質

今回使うトレースの性質は三つ。
$\mathscr{tr}\left( A+B\right) =\mathscr{tr}A+\mathscr{tr}B$
$\mathscr{tr}\left( AB\right) =\mathscr{tr}\left( BA\right)$
$\mathscr{tr}\left( \lambda A\right) =\lambda \mathscr{tr}A$

次はこれを使い、証明する。

AB=BA

$AB-BA=\lambda E$ ならば $AB=BA$
ただし $E,A,B$ は $n$ 次正方行列とする。

これを示す。

トレースを使って
$\begin{aligned}\mathscr{tr}\left( AB-BA\right) &=\mathscr{tr}\left( AB\right) -\mathscr{tr}\left( BA\right)& \\ &=\mathscr{tr}\left( AB\right) -\mathscr{tr}\left( AB\right)& \\ &=0&\end{aligned}$
また、
$\mathscr{tr}\left( \lambda E\right) =\lambda n$

よって、 $\lambda n=0$ なので $\lambda =0$
これより
$AB-BA=0$ なので、 $AB=BA$

おわり。次も同じやり方で示すことができる。

$A^{2}B-ABA=\lambda E$ ならば $AB=BA$
ただし $E,A,B$ は $n$ 次正方行列で $A$ は正則行列とする。

こちらもトレースを使う。
$\begin{aligned}\mathscr{tr}\left( A^{2}B-ABA\right) &=\mathscr{tr}\left( A\left( AB\right) \right) -\mathscr{tr}\left( \left( AB\right) A\right)& \\ &=\mathscr{tr}\left( A\left( AB\right) \right) -\mathscr{tr}\left( A\left( AB\right) \right)&\\&=0& \end{aligned}$

よって、 $\lambda n=0$ なので $\lambda =0$
これより $A^{2}B=ABA$
$A^{-1}$ を（左から）かけて、 $AB=BA$ を得る。

終わり。
使う機会は少ないと思うが、試験で出てきたときはトレースでの証明もあると覚えておきたいところ。
もしかしたら院試などで使うかも。

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