【複素関数】sinz/z^2を留数定理で確かめる

今回は上の問題を解いてみましょう。
下でローラン展開＆留数定理で確かめます。

sinz/z^2
z^3等の場合は？
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sinz/z^2

$\displaystyle\int _{c}\dfrac{\sin z}{z^{2}}dz$
を解いていきます。
ただし、 $\left| z\right| =1$ とします。
つまり単位円周上で考えるのです。

これは $z=0$ で2位の極になっているので、
$\displaystyle\begin{aligned}Res\left( 0\right) &=\lim _{z\rightarrow 0}\dfrac{d}{dz}\left( z^{2}\cdot f\left( z\right) \right) &\\ &=1&\end{aligned}$

あとは留数定理より、
$2\pi i\cdot Res\left( 0\right) =2\pi i$ です。

z^3等の場合は？

$z^3$ の場合はまた微分して考えればいいだけです。
ただ、 $z=0$ の場合を考えるので、 $\sin$ が出てくると、
どうしても0になりやすいので、解が0になっても慌てないようにしましょう。

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