ボレル・カンテリの定理（補題）と証明（測度,確率,ルベーグ積分）

ここではボレル・カンテリの定理（補題）の確認をします。
そのあとに簡単な証明を付けておきます。

ボレル・カンテリの定理

$A_{k}$ を確率空間の事象とします。

このとき下が成立します。

$\displaystyle\sum ^{\infty }_{k=1}P\left( A_{k}\right) <\infty \Rightarrow P\left( \limsup _{k\rightarrow \infty }A_{k}\right) =0$

不思議な形ですが、しっかりと証明できます。

証明の前に

証明の前に既知として以下の事実を使用します。
$P\left( \bigcup ^{\infty }_{k=1}A_{k}\right) \leq \sum ^{\infty }_{k=1}P\left( A_{k}\right)$ （劣加法性）※ブールの不等式とも。

$\begin{aligned}&A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots &\\ &\Rightarrow P\left( \bigcap ^{\infty }_{k=1}A_{k}\right) =\lim _{k\rightarrow \infty }P\left( A_{k}\right)& \end{aligned}$

証明

上の事実より、

$\displaystyle\begin{aligned}P\left( \limsup _{k\rightarrow \infty }A_{k}\right) &=P\left( \bigcap ^{\infty }_{k=1}\bigcup ^{\infty }_{k=n}A_{k}\right) &\\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( \bigcup ^{\infty }_{k=n}A_{k}\right)& \\ &\leq \lim _{n\rightarrow \infty }\sum ^{\infty }_{k=n}P\left( A_{k}\right) =0&\end{aligned}$