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【確率論】コインとサイコロで考える確率空間（作り方｜問と解答）

数学確率統計

ここでは、確率論の確率空間について見ていきます。
測度論の知識があったほうがよいですが、今回はなくとも理解はできるはずです。

確率空間とは？
サイコロの場合
コインの場合
おわりに＆おすすめ

確率空間とは？

$\Omega$ を標本空間（全事象とも）、 $\mathcal{F}$ を事象の全体、 $\left( \Omega ,\mathcal{F}\right)$ を可測空間とします。
また、 $P$ を $\mathcal{F}$ 上の関数とします。
このとき、
①： $A\in \mathcal{F}$ に対し、 $0\leq P\left( A\right) \leq 1$
②： $P\left( \Omega \right) =1$
③： $A_{n}\in \mathcal{F}( n= 1.2,\ldots )$ が排反、すなわち $i\neq j$ ならば $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ であるならば、
$P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}P\left( A_{n}\right)$
※③をσ加法性と呼びます。

上の3条件を満たすならば、 $P$ を確率測度、あるいは単に確率と呼びます。

そして、上の $\Omega ,\mathcal{F},P$ の組、 $\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)$ を確率空間と呼びます。

次は実際の例で見てみましょう。

サイコロの場合

仮に2回投げたとします。

このとき、
$\Omega =\{ \left( i,j\right) | i=1,2,\ldots ,6,j= 1,2,\ldots ,6\}$

$\mathcal{F}=2^{\Omega }$

$P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =\dfrac{1}{36}\left( \omega \in \Omega \right)$

となります。

コインの場合

コインの場合も見てみましょう。
2回同じように投げたとき、確率空間はどうなるでしょうか？

答えは下のとおりです。

$\Omega =\{ \left( i,j\right) | i,j= 0または1\}$

$\mathcal{F}=2^{\Omega }$

$P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =\dfrac{1}{4}\left( \omega \in \Omega \right)$

ちなみに、3回の場合だと $\Omega =\{ \left( i,j,k\right) | i,j,k= 0または1\}$ のようにすればOKです。

メモ：問で『サイコロを3回投げたときの確率空間を作れ』と聞かれると、
一瞬焦ってしまいそうですが、落ち着いて考えれば意外と簡単なわけですね。

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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