【数列の極限】はさみうちの原理と応用（使用例）【大学数学】

ここでは、はさみうちの原理と応用（使用例）について確認します。
動画での解説もしますので、よければそちらも見てください。

動画解説（YouTube）
はさみうちの原理とは？
使用例（応用）
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はさみうちの原理とは？

任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して、
$a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ ,
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\alpha$
ならば、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=\alpha$ となること。

使用例（応用）

はさみうちの原理を使って、例えば次の問を求めることができる。
問：
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{6^{n}}{n!}$

解き方：
まず、 $\dfrac{6^{n}}{n!} >0$ であることに注意する。

$\dfrac{6^{n}}{n!}=\dfrac{6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot \cdot \cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \cdot \cdot n}\leq \dfrac{6^{6}}{6!}\cdot \left( \dfrac{6}{7}\right) ^{n-6}$

（※スマホの方は数式を横にスライドして見てください。）
上より、
$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{6}{7}\right) ^{n-6}=0$
であるので、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{6^{6}}{6!}\left( \dfrac{6}{7}\right) ^{n-6}=0$

よって、はさみうちの原理より、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{6^{n}}{n!}=0$
と求まります。

おわり。今回はここまでとなります。
動画ではより詳しく解説していますので、よければそちらも見てください。

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