【線形代数】表現行列の簡単な求め方（例題で練習）

はじめに

ここでは表現行列の簡単な求め方について確認、例題で練習します。
この記事はサブサイト『数学の島』で載せていたものです。

表現行列って？

例題から入ってもよいのですが、

そもそもの話で、表現行列って何？という方向けに定義を確認しておきます。

表現行列の定義

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とし、 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ を基底とする。

同じように

$W$ を $m$ 次元ベクトル空間とし、 $b_{1},\ldots ,b_{m}$ を基底とする。

このとき、線形写像 $f:V\rightarrow W$ において、

$f(a_{i}),( i= 1,\ldots ,n)$ は $b_{1},\ldots ,b_{m}$ の一次結合なので、

$\begin{aligned}f\left( a_{1}\right) =a_{11}b_{1}+a_{11}b_{2}+\ldots +a_{m1}b_{m}\\f\left( a_{2}\right) =a_{21}b_{1}+a_{22}b_{2}+\ldots +a_{m2}b_{m}\\\vdots \\f\left( a_{n}\right)=a_{n1}b_{1}+a_{n2}b_{2}+\ldots +a_{mn}b_{m}\end{aligned}$

このように表せる。

ここで、係数を取り出して、（上の場合だと）

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} &\ldots& a_{1n} \\a_{21}& a_{22} & \ldots& a_{2n} \\a_{n1}^{\vdots } &a_{n2} &\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$

これが $f$ の表現行列である。

定義の確認をしたところで、例題を二つ用意したのでそれを解いてみよう。

例題１

まずは $\mathbb{R} ^{2}$ の場合で見てみよう。

線形写像 $f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}$ ,

$f\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+y \\-x-5y\end{pmatrix}$

であり、

基底が、 $\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$ だったとする。

このときの表現行列を求めてみよう。

解：

分かりやすくするために、

$a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}0 \\-1\end{pmatrix}$

としておく。

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}3 \\-1\end{pmatrix}$ であり、

これは $c_{1},c_{2}$ を使って次のようにおける。

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}$

あとは、これを解いて、

$c_{1}=3,c_{2}=1$

$f\left( a_{2}\right)$ も同様にして、

$f\left( a_{2}\right) =\begin{pmatrix}-1 \\5\end{pmatrix}=-a_{1}-5a_{2}$

となるので、求める表現行列は、

$\begin{pmatrix}3 &-1 \\1 &-5\end{pmatrix}$

である。

次は $\mathbb{R} ^{3}$ の場合で見てみよう。

といってもやり方は同じなのですぐにできるはず。

例題２

線形写像 $f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}$ ,

$f\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y-z \\x+2y \\-2x+z\end{pmatrix}$

であり、

基底が、 $\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\-1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\0 \\-1\end{pmatrix}$ だったとする。

このときの表現行列を求めてみよう。

解：

上と同じく、分かりやすいように

$a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}0 \\-1\\0\end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\-1\end{pmatrix}$ としておく。

すると $f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right)$ は、

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}0 \\1 \\-2\end{pmatrix}=-a_{2}+2a_{3}$

$f\left( a_{2}\right) =\begin{pmatrix}-1 \\-2 \\0\end{pmatrix}=-a_{1}+2a_{2}$

$f\left( a_{3}\right) =\begin{pmatrix}1 \\0 \\-1\end{pmatrix}=a_{1}+a_{3}$

となるので、求める表現行列は、

$\begin{pmatrix}0 &-1 &1 \\-1 &2 &0 \\2 &0 &1\end{pmatrix}$

である。

基本、このとおりにやれば簡単に求まる。

おわりに＆おすすめ

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当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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【線形代数】表現行列の簡単な求め方（例題で練習）

はじめに

表現行列って？

表現行列の定義

例題１

解：

例題２

解：

おわりに＆おすすめ