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【数列の極限】有名な問題練習＋解答付き#3（大学数学｜解析学）

数学 解析学


ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題

\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1-\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n}を求めよう。

動画解説（YouTube）

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解き方

\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}=e
であることに注意すれば解くことができます。

\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1-\dfrac{1}{n^{2}}\right) ^{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}\left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{n}&\\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}\left( \dfrac{n-1}{n}\right) ^{n}&\\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}\dfrac{1}{\left( 1+\dfrac{1}{n-1}\right) ^{n}}&\\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}\dfrac{1}{\left( 1+\dfrac{1}{n-1}\right) ^{n-1}}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n-1}}&\\&=1&\end{aligned}

よって、求める解は1です。

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おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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≫線形代数（上級者向け）
≫集合位相
≫複素関数
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