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縮小写像でない例について：sinxの場合

数学関数解析

ここでは縮小写像でない例として $\sin x$ について確認してみます。

縮小写像とは
縮小写像かどうかの判断
sin xの場合
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縮小写像とは

簡単に言うと、定数 $c\in [ 0,1)$ が存在して、
$\left\| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right\| \leq c\left\| x-y\right\|$
となることです。

縮小写像かどうかの判断

判断方法として、
$\dfrac{\left\| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right\| }{\left\| x-y\right\| }\leq c$
として、
定数 $c$ がどうなるかで考えます。

sin xの場合

答えから先に言うと、縮小写像ではありません。

$x=0$ において、
$\dfrac{\left| \sin x-0\right| }{\left| x-0\right| }\rightarrow 1\left( x\rightarrow 0\right)$
よりわかります。

まあ簡単ですね。
最後の $1$ になる理由は $\dfrac{0}{0}$ 型なのでロピタル使って終わりです。

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