【関数解析#1】線形空間＆線形部分空間＆無限次元

はじめに
線形空間の定義
線形部分空間の定義
一次独立の定義
無限次元とは
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はじめに

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今回から関数解析の勉強を始めていきます。
第一回目は今までの復習（線形代数）となります。
定義の確認をしましょう。

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線形空間の定義

定義の確認をしていきましょう。

線形空間とは。
集合 $V$ が $K$ 上の線形空間であるなら、
$V$ による加法と $K$ の元によるスカラー乗法が定義され、次の(1)~(8)を満たす。

（加法） $\mathbb{\forall x,y}\in V$ に対し、
(1) $\mathbb{\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)}$ （結合法則）
(2) $\mathbb{x+y=y+x}$ （交換法則）
(3) $\forall \mathbb{x}\in V$ に対し、 $\mathbb{0+x=x}$ を満たす、 $\mathbb{0}$ がただ一つ存在する。（ゼロベクトルの存在）
(4) $\forall \mathbb{x}\in V$ に対し、 $\mathbb{x+x'=0}$ を満たす、 $\mathbb{x'}$ がただ一つ存在し、 $\mathbb{x'=-x}$ と表される。（逆ベクトルの存在）

（スカラー乗法）
$\forall \mathbb{x,y}\in V$ と $\forall a,b\in K$ に対し、
(5) $a\left( \mathbb{x+y}\right) =a\mathbb{x}+a\mathbb{y}$ （分配法則１）
(6) $\left( a+b\right) \mathbb{x}=a\mathbb{x}+b\mathbb{x}$ （分配法則２）
(7) $\left( ab\right) \mathbb{x}=a\left( b\mathbb{x}\right)$ （結合法則（スカラー乗法））
(8) $1\mathbb{\cdot x=x}$ （単位法則）

以上。

線形部分空間の定義

$V$ の部分集合 $W$ が次の(1),(2)を満たすとき、 $W$ を $V$ の線形部分空間という。
(1) $\mathbb{\forall x,y}\in W$ に対して、 $\mathbb{x+y}\in W$
(2) $\forall \mathbb{x}\in W$ , $\forall a\in K$ に対して、 $a\mathbb{x}\in W$

一次独立の定義

次の『無限次元』で扱うため、ここで一応確認しておく。

$V$ の元、 $\mathbb{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ について、
$a_{1}\mathbb{x_{1}}+a_{2}\mathbb{x_{2}}+\ldots +a_{n}\mathbb{x_{n}}=\mathbb{0}$ ならば、
$a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$ となるとき、
$\mathbb{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ は一次独立である。
これが成立しないとき、一次従属とする。