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【測度論】測度の単調性の証明

はじめに

ここでは測度における単調性の証明をします。
測度・ルベーグ積分の記事は他にも書いてあるので、よかったらそちらもどうぞ。
下の数学記事まとめから見ることができます。

≫数学記事まとめはこちら

(測度論の)単調性とは

\muを加法的とする。
A\subset Bであるなら、任意のA,B\in \mathscr{A}に対し、
\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right) となるとき、これを測度の単調性という。

※加法的とは、簡単に言うとA\cap B=\phi なら、
\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)となることである。

次はこれ(単調性)の証明をする。

証明

B=B\backslash A\cup Aであり加法的なので、
\mu \left( B\right) =\mu \left( B\backslash A\right) +\mu \left( A\right).

よって、
\mu \left( B\right) =\mu \left( B\backslash A\right) +\mu \left( A\right) \geq \mu \left( A\right)


おわり。

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